www.think-tank.co.kr 씬의 싱크탱크 ⓒ All Right Reserved by. Seen Admin Write


48/2(9+3) 의 답은 2일까 288일까? 48÷2(9+3)=? 에 대한 진지한 고찰.
Share |


무거운 몸을 이끌고 집에 돌아오니 뜬금없이 인터넷에서 48÷2(9+3)에 대한 열띤 공방이 있다.
수학을 가르치는 내 입장에서도 순간 "뭐야 이건?.." "2 인가?... 아니 288 인가?..."
48÷2(9+3)=? 이라는 문제에 대하여 "2" 와 "288"의 두가지 답을 가지고 싸우고 있더라..
곱셈의 생략을 우선으로 생각하면 답은 "2"이지만,
분배법칙이나 연산순서를 우선으로 생각하면 답은 "288"이 되기 때문이다.




무엇때문에 의견이 나뉘게 된 것일까?

48÷2(9+3) 식에 대한 답이 "2"와 "288" 두개인 것에 대해 여러 증명과정을 토대로 의견이 나뉘고 있다.
이러한 의견충돌이 나오는 부분은 48÷2×(9+3) 와 48÷{2(9+3)} 두 식의 차이점에서 비롯된다.

48÷2(9+3) = 48÷2×(9+3) = 288  ??
48÷2(9+3) = 48÷{2(9+3)} = 2    ??


생략된 곱셈을 먼저 만들 것이냐, 분배법칙이나 연산순서를 우선시 할 것이냐의 문제라는 것이다.


그런데 공학계산기를 이용하여 해답을 도출하기 원했던 사람들조차 혀를 내두른다.
바로 공학계산기조차 각각 다른 값을 내놓기 때문이다.

 










답이 288이라고 생각하는 사람들은 생략된 곱셈을 도입하여, 48 ÷ 2 × 12 = 288 이라고 답할 것이다.
여기에서도 2×12를 먼저해야하는게 우선이라는 사람들이 있는데,
곱셈과 나눗셈이 동시에 있는 경우에는 순서대로 연산하는게 정석이다.
나눗셈은 곱셈으로도 바꿀 수 있으니 48 × (1/2) × 12 = 288 이므로, 이러한 해석에서는 맞는 답이다.

다음으로, 답이 2라고 하는 사람들은 먼저 분배법칙을 이용한다면,
단순히 48÷2(9+3) 에서 2(9+3)을 먼저 분배할 것이며, 즉 2×9 + 2×3 = 18 + 6 = 24 이다.
여기에 원래 문제인 48÷2(9+3)에 대입하면, 48 ÷ 2(9+3) = 48 ÷ 24 = 2 라고 답한다.

위의 해석방법은 모두 접근방법의 차이일 뿐 모든 풀이는 전혀 모순이 없다.
또한, 연산 순서를 내세워 곱셈이 우선인지 괄호가 우선인지에 대한 논란도 거세다.
이 부분에 대해서는 아래에서 다시 거론하도록 하겠다.





잘못된 해석과 풀이에 대한 반론

먼저, 많은 논란이 되고 있는 연산 순서에 대해서 알아보도록 하겠다.
괄호가 가장 먼저 계산되고, 그 다음이 지수, 다음이 곱셈과 나눗셈, 마지막이 덧셈과 뺄셈이다.

괄호 > 지수 > 곱셈 = 나눗셈 > 덧셈 = 뺄셈

하지만 이 문제에서는 괄호를 먼저 푸는 것은 의미가 없다.
48÷2(12)가 되기에, 문제의 답이 두 개로 나뉘는 이유에 대한 해결책을 제시할 수 없기 때문이다.
지금 우리는 괄호 옆의 곱셈을 먼저할 것인지, 앞에서부터 나눗셈을 먼저할 것인지를 묻고있다.
연산순서가 문제의 요지인데, 엉뚱한 풀이과정으로 같은 문제로 만드는 의견들이 많은 것 같다.


괄호가 최우선 연산순서이므로 답은 2이다?

먼저, 괄호가 가장 우선 순위이기 때문에 2 × 12 를 먼저 해야 한다는 것은 오류이다.
연산순서의 우위에 있는 것은 괄호이기는 하지만, 연산의 실시는 "괄호 안"에 국한되어있다.
괄호가 우선 순위이기 때문에 괄호 옆의 곱셈이 먼저 계산되어야 한다는 것은 모순이라는 말이다.
괄호 옆의 곱셈이기 때문에 일반적인 곱셈보다 우선이다? 이는 들어본 적이 없는 원리이다.

참고로 연산순서에 대한 부분은 엄밀한 증명과정을 거친 완벽한 이론이 아닌,
경험적 사고방식에 의한 것임에 유의하길 바란다.
이러한 체계가 확립된 것도 100년도 미처 되지 않았다고 하니,
괄호 옆의 곱셈이기 때문에 일반적인 곱셈보다 우선되어야 한다는 것도 단순 추론이라는 것을 알기바란다.


중괄호가 없기 때문에 나눗셈부터 해야한다?

공학계산기나 프로그래밍을 조금이나마 다루었던 분들이라면 48÷2(9+3)=288 이라고 대답할 것이다.
왜냐하면 프로그래밍에서는 괄호가 가지는 의미가 매우 크기 때문에,
아주 간단한 연산이더라도 괄호를 무조건적으로 입력시켜줘야 하기 때문이다.
이 문제 48÷2(9+3) 에서는 괄호가 생략되어 있기 때문에,
2(9+3)은 2×(9+3)이라는 의미가 더 크다고 생각하는 사람들이 있을 것이다.
하지만 프로그램이나 계산기를 사용할 때는 괄호뿐만 아니라 곱셈을 생략하는 것도 민감한 문제임을 유의하라.

프로그래밍이나 계산기에서 곱셈이나 괄호를 생략해버린다면 서로 다른 결과가 나올 수도 있게된다.
계산은 입력자의 논리가 아닌 설계자가 입력한 알고리즘에 의해 작동되기 때문이다.
각 프로그램 언어나 계산기의 설계자는 서로 다를 수밖에 없고 다른 결과를 도출할 수도 있게된다.

한마디로 알고리즘의 차이가 존재하기 때문에,
프로그래밍을 할 때나 계산기에 수식을 입력할 때는 엄밀한 수식을 입력해야 한다.
엄밀한 결과를 도출하기 위해서는 48÷2×(9+3) 와 48÷(2(9+3)) 둘 중에 하나를 입력해야된다는 것이다.
즉, 이러한 접근방법 또한 문제를 본질적으로 이해하지 못했다고 볼 수 있다.


그렇다면, 치환해서 문제를 풀면되잖아..

또 다른 의견에서는, 48/2(9+3) 식에서 (9+3) 을 A 로 치환하면 된다는 의견이 있다.
여기에 대한 반론으로 숫자는 치환할 수 없다고 하는데, 상수 또한 치환의 정의에 포함된다.
하지만 치환문제로 바꾸어도, 48÷2A 에서 48÷2×A 와 48÷(2A) 의 차이처럼,
해당 문제가 논란이 되고 있는 부분을 인지하지 못한 본질적인 해결책이 아니다.





모순된 문제. 즉, 답은 존재하지 않는다.

문제에 대한 해석과 더불어 결론을 말하건데, 문제 자체에 오류가 있다.
48÷2(9+3)이 아니라 48÷2×(9+3) 나 48÷2(9+3) = 48÷{2(9+3)} 로 주어졌다면 답은 명확하다.
하지만 본질적으로 문제에서는 "곱셈 기호를 생략" 했기에 다양한 의견이 존재하게 된 것이다.


곱셈 기호는 "숫자와 숫자사이"에서는 생략할 수 없다.
우리가 아무렇지 않게 사용하고 있는 "곱셈 기호의 생략" 에는 조건이 있다.
바로 "문자와 문자사이" 이거나 "문자와 숫자사이"라는 조건이다.

"숫자와 숫자" 사이에서 곱셈 기호를 생략할 수 없음은 간단히 알 수있다.
(2 × a = 2a) 나 (a × b = ab) 로 곱셈기호를 생략할 수 있지만, (2 × 3 = 23) 으로는 표현할 수 없다.

2 · 3 으로 표시하면 된다고 할 수 있지만, 연산 기호의 생략과 변경은 의도자체가 다르다.
연산 기호의 변경은 단순히 편리하게 표기하기 위함일 뿐이기 때문이다.
이번 문제인 48÷2(9+3) 에서 곱셈 기호는 변경이 아니라 생략이 되어 있다.

참고로, 생략된 곱셈은 나눗셈보다 연산순서가 높다는 점을 알아두길 바란다.
예를 들어, 3÷3a 가 문제였다면 답은 1/a 이라는 것이다.
하지만 이렇게 생략된 곱셈 자체가 숫자와 숫자의 곱이 생략되어 있는 것이라면,
잘못된 문제에 이러한 해석을 도입하는 것조차 오류라는 점을 먼저 떠올려야 한다.

한 마디로, 문제 자체가 모순인데 이 문제에서 답을 얻는다는 것 자체가 모순이라는 것이다.
2와 288 두가지 답 모두, 몇몇 주장을 제외하고는 접근 방법의 차이일 뿐 증명과정에는 모순이 없다.
즉, 다양한 풀이과정은 잘못되지 않았지만 문제가 잘못되었다는 것이 결론이다.





수학은 불완전하다.

많은 사람들은 수학이 완벽한 학문이자, 자명한 이치라고 알고 있다.
하지만, 수학이 불완전하다는 것은 괴델에 의하여 증명된바있다.

한마디로 풀이하자면, 어떠한 정리를 이용해도 애초에 답이 없는 문제가 있을 수 있으며,
수학은 공리로부터 시작하지만 공리는 증명할 수 없다는게 요지이다.
이 부분은 그 유명한 "불완전성의 정리"에 기술되어 있지만,
글이 심하게 길어지는 경향이 있으니 자세한 내용은 다음에 포스팅하도록 하겠다.

글을 쓰고있다보니, 점차 글을 쓰고 있는 나조차도 헷갈리는 느낌이다..
지금까지 기술한 나의 견해는 수학을 가르치는 입장이 아닌,
수학을 좋아하는 사람의 단순한 의견임을 알아주길 바란다.

내가 제시한 의견이 100% 옳다는 것이 아니다.
실제로, 어떤 문제이던지 전문가들 사이에서도 의견이 분분히 나뉘는 것을 알 수있다.
즉 엄밀한 문제가 아닌 이상, 보는 이의 시야에 따라 문제가 바뀔 수밖에 없다는 것이다.
필자의 의견에 대한 비난은 거절하지만, 논리적인 반박은 언제든지 환영이다.

신고